Notizen zur Vorlesung, Sommersemester 2026, Hartmut Rehlich
Algorithmen und Modellieren
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Das pythagoreische Stimmprinzip

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zur Klausur


Die Klausur mit Lösungen pdf    (es gab zwei Versionen, die sich aber nur bei den beiden ersten Aufgaben unterscheiden)

Einsichtnahme in die Klausur:

In der Zeit vom 10. August  bis 10. September im Institutsbüro, Frau Öztürk bittet um eine Voranmeldung per Email und weist darauf hin, dass sie keine inhaltlichen Fragen beantworten wird.

Damit Sie Ihre Bearbeitungen, soweit Sie diese noch im Gedächtnis haben, einschätzen können, habe ich die Lösungen oben zum Download bereitgestellt. 

Eine Zweitklausur wird im Wintersemester angeboten (der Termin wird auf der Institutsseite unter "Neuigkeiten" bekanntgegeben).



Termin: Letzte Vorlesungswoche am Dienstag zur Vorlesungszeit, also von 15:00 Uhr bis 16:30 Uhr

Hilfsmittel: Taschenrechner + ein selbst produzierter Merkzettel DIN A4, doppelseitig beschrieben, mit Hand oder Maschine, beliebigen Inhalts.

Inhalte: Die Klausur wird sich am Inhalt der laufenden Übungsaufgaben orientieren (mit veränderten Werten). Die Grundmenge, aus der diese Auswahl getroffen wird, sind aber nicht alle Übungsaufgaben, sondern eine Teilmenge K der Übungsaufgaben. Bei komplexeren Übungsaufgaben, wird eine klausurpassende Kurzform, eine Konzentration auf einen wesentlichen Inhalt etc. gewählt (bei den Aufgaben zur Musik würde z. B. eine Kenntnis der Bedeutung des pythagoreischen Kommas oder des Quintenalgorithmus abgefragt, keine langwierige Reproduktion einer Tabelle verlangt). Die Klausuraufgaben orientieren sich also an einer Teilmenge dieser Teilmenge K. K wird sukzessiv im Laufe des Semesters durch die Angabe ihrer Elemente definiert.

Stand (04.06.26):  
K = { Serie 1, Aufgaben 4, 5*, 6*, 8, 9 }   { Serie 2, Aufgabe 1}     { Serie 3, Aufgaben  1, 2, 3 }     {  Serie 4, Aufgabe 5  }       {  Serie 5, Aufgaben 1, 2, 3 }       {  Serie 6, Aufgaben  1, 2, 3, 4, 5, 6  }      {  Serie 6a, Aufgaben  1 }      {  Serie 7, Aufgaben  1 }

*Ergänzung, hatte ich vergessen

zusätzliche Trainingsaufgaben     Serie 01 pdf   Lösungen pdf       neu:    Serie 02 pdf      Lösungen 1-4  Lösungen 5-8
                                                                                                                                                                    "Dreher" bei Aufgabe 3
                                                                                                                                                                    --- auf ...10   endet, natürlich
Es wird Auswahlmöglichkeiten geben (in der Art: "man wähle x der y Aufgaben") und die Möglichkeit, eine kleine Programmieraufgabe als Ersatz für eine der x Aufgaben einzubringen.

Notizen zur Vorlesung
001 pdf    Algorithmen zur Arithmetik und Zahlentheorie  
   
002 pdf    Polynominterpolation mit Gauß, Lagrange und Newton,  002a pdf    dazu ergänzend: Auszug aus 4. (Zahlenzauber)

00x pdf    Exkurs, pdf Sortieralgorithmen und Definition der O-Notation

003 pdf    Harmonielehre von Pythagoras

004 pdf    Wechselwegnahme und euklidischer Algorithmus

005 pdf    Rationale Näherungen, Teil 01     Farey.xlsx Intervallschachtelung aus besten approximierenden Brüchen realisiert mit Excel

006 pdf    Wachstumsmodelle    006a pdf   Räuber-Beute-Modell von Volterra

007 pdf    Rationale Näherungen, Teil 02     Link: Programm zur Kettenbruchdarstellung rationaler Zahlen und Wurzelausddrücken
Musterlösungen der Aufgaben

Lösungen zu Teil 1 (Arithmetik)   pdf           SmallBasic Primfaktorzerlegung verbessert .sb                   Excel Stellenwertsystemrechner .xlsx
 
Lösungen zu Teil 2 (Polynome)    pdf

Lösungen zu Teil x (Sortieren  )   pdf

Lösungen zu Teil 3 (Musik)        pdf

Lösungen zu Teil 4 (Euklid)         pdf        SmallBasic  euklidischer Algorithmus .sb  Darstellung der 1.sb    Dameproblem .sb

Lösungen zu Teil 5 (Farey)         pdf        SB beste Näherungen .sb     Intervallschachtelung . xlsx

Lösungen zu Teil 6 (Verhulst)      pdf

Lösung zu 6a (Volterra)              pdf        Exceltabelle xlsx

Lösung zu 7 (Kettenbrüche)        pdf        mp4 Video zum Thema  (Erläuterung der Zusammenhänge und Rechenmethoden
Literatur

   1. Barth, A., "Algorithmik für Einsteiger", Vieweg 2003  Leseprobe aus dem Buch zur Turingmaschine
   2. Engel, A., "Elementarmathematik vom algorithmischen Standpunkt", Klett 1983
   3. Schröder, E., "Mathematik im Reich der Töne", Teubner 1982
   4. Conway, J. H. " Zahlenzauber", Birkhäuser Verlag, 1997
   5. Hackemann, M. "Die Vorsokratiker: Von Thales bis Demokrit", Anaconda Verlag 2016  (info)
 
  [1] gibt einen systematischen Überblick zu "Theorie und Praxis" der Algorithmen, bis zu den Sätzen von Alan Turing.
  [2] ist ein Klassiker, induktiv aufgebaut, sehr inhaltsreich und mathematisch verspielt
   [3] enthält u. a. eine Darstellung der Harmonielehre des Pythagoras, aus der sog. Schülerbücherei von Teubner
  [4] ein sehr reichhaltiges Werk dieses Jahrhundertmathematikers, anschaulich und verspielt
  [5] enthält ein längeres Kapitel über Pythagoras
Computerprogramme zum Üben, Lernen und Spielen

Die in der Vorlesung besprochenen Algorithmen und Modelle können programmiert werden. Es ist zwar nicht der Sinn der Vorlesung, das Programmieren zu erlernen, aber es kann Spaß machen und zur gedanklichen Vertiefung dienen, gelegentlich kleine Programme zu produzieren. Daher wird angeboten, anhand der sehr schönen und sehr einfach aufgebauten kostenlosen Programmiersprache Small Basic  das Programmieren gelegentlich auszuprobieren und kleine Aufgaben zu realisieren. Die nötigen Einstiegshilfen gibt es in der Vorlesung im Zusammenhang mit kleinen Demonstrationen ihrer Funktionalität.  In diesem Fenster werden für die Vorlesung produzierte Programme zum Download bereitgestellt.  Man kann mit ihnen arbeiten, sie modifizieren, verbessern usw.

 
 von Microsoft (Einführung pdf)  (man findet die Programmiersprache auf diversen Seiten zum kostenlosen Download, < 10MB)

Small Basic Computerprogramme
Liste der Teiler einer Zahl.          Quellcode *.sb           (erstes Beispiel zur ersten Vorlesung, um es 'laufen' zu lassen, muss SB installiert sein)
weitere folgen


Weitere eigene Windowsprogramme (Zusammenstellung auf dieser Internetseite)

Polynominterpolation Link

Musikalische Stimmungen Link
Lissajous-figuren Link

Skyline der Stadt der Zahlen (< 100KB)  Teiler.exe



Wochenprotokolle


Vorlesungsprotokoll 1  (Dienstag,14. April, 15:00 Uhr)
Einführung und Algorithmen zur Arithmetik nebst kleinen Rechentricks und einer physikalischen Modellierung zur Schwingzeit eines Fadenpendels.

Themen: Liste der Teiler einer Zahl, Faktorisierungsproblem
siehe Teil 1 der Notizen


Vorlesungsprotokoll 2  (Mittwoch, 15. April, 8:00 Uhr)

Wir sind bis Seite 8 der Notizen 1 vorgedrungen. Der in unserem kleinen Exkurs angekündigte Beweis zum Satz über die geraden vollkommenen Zahlen wurde noch nicht gebracht, damit starten wir in einem kleinen Rückblick am Dienstag, den 21. April.
siehe Teil 1 der Notizen


Vorlesungsprotokoll 3  (Dienstag, 21. April, 15:00 Uhr und Mittwoch Übung)
Dienstag:     Teil 1 der Notizen wurde abgeschlossen,  
Mittwoch:    Alle Aufgaben wurden besprochen (Download der Musterlösungen oben). Entdeckt wurde, dass im Flussdiagramm zur Primfaktorzerlegung die Verkleinerung von n durch die Division vergessen wurde (im Programmtext steht sie). Bei den Musterlösungen wurde das ergänzt.
siehe Teil 1 der Notizen, Lösungen

Vorlesungsprotokoll 4  (Dienstag, 28. April, 15:00 Uhr)
Notizen Teil 2, Polynominterpolation mit Gauß, Lagrange und Newton, nebst einer inhaltlichen Lösung von Pythagoras. Ganz durchgearbeitet,
 
siehe Teil 2 der Notizen
 
Ebenfalls oben zum Download: Exkurs zu Sortieralgorithmen mit Definition der O-Notation für die Komplexität (Laufzeit)
siehe Notizen Exkurs, Sortierverfahren und O-Notation

Vorlesungsprotokoll 5  (Dienstag, 5. Mai, 15:00 Uhr und Mittwoch, 6. Mai)
     Teil 3 der Notizen wurde vorgestellt

Herleitung und Erläuterung der pythagoreischen Harmonielehre mit zahlreichen Vorführungen (Video, Monochord, Tongenerator, Simulationsprogrammen, Zeichnungen usw.

In der Übung wurden die Aufgaben zur Polynominterpolation besprochen
siehe Teil 2 der Notizen

Vorlesungsprotokoll 6  (Dienstag, 12. Mai, 15:00 Uhr, Mittwoch Übungen 
Vorschau:

Im ersten Teil
geht es um Lösungsalgorithmen für Sudoku, die von einer Maschine oder  per Hand durchgeführt werden können. Zu diesem Thema habe ich eine kleine Handreichung verfasst, in die zur Einstimmung geschaut werden kann.

Im zweiten Teil
fragen wir uns u. a.: Welche Beträge können bezahlt werden, wenn es nur Münzen mit den Werten  a = 11  und b = 17 Cent gäbe (das ist eine übliche Einkleidung dieser offensichtlich zahlentheoretischen Frage).
eine Seite aus den neuen Notizen jpg

Wir finden hier einen eleganten Bezug zum euklidischen Algorithmus, den wir dann genauer unter die Lupe nehmen.

Stand am Ende der Vorlesung: Beweis des euklidischen Algorithmus (über die Erhaltung der gemeinsamen Teiler bei jedem Einzelschritt) wurde besprochen, Münzproblem: Erweiterter euklidischer Algorithmus zur Darstellung der 1 wurde vorgestellt, Darstellbarkeit aller natürlicher Zahlen n in der Form   n = xa + yb   (mit natürlichen Zahlen a, b und ganzen Zahlen x, y wurde auf zwei Artren bewiesen.

siehe Teil 4 der Notizen

Mittwoch: Alle Aufgaben zur Musik besprochen, Bemerkungen zu den Aufgaben zu den Sortierverfahren gemacht und
darauf hingewiesen, dass diese nicht prüfungsrelevant sind.

Vorlesungsprotokoll 7  (Dienstag, 19. Mai, 15:00 Uhr

 Bild:  Ein unendlicher Abstieg ins Irrationale

Alles, was noch fehlt aus den Notizen 4 wird besprochen. Wer sich vorher einstimmen möchte, kann z. B. gucken, welche Aufgaben er schon lösen kann, ehe er die Vorlesung gehört hat, oder ein kleines Computerprogramm zum euklidischen Algorithmus realisieren oder zum Münzproblem etwas im Internet recherchieren, die Sache ist auch historisch interessant.
Man findet dazu etwas auf meiner Seite für einen Schülerzirkel, den ich vor 10 Jahren 2 Jahre lang in Hamburg angeboten hatte und natürlich auch viel auf anderen Internetseiten. Meine Seite scheint sich einer gewissen Beliebtheit zu erfreuen, beim Googeln von "Münzproblem" mit Startpage, war meine Seite an der vierten Stelle von oben :-). Da war ich doch etwas überrascht. Auf der Seite findet man auch weitere interessante Knobelaufgaben, die sämtlich Türöffner für "ernsthafte Mathematik" sind (anschauliche Zugänge zu klassischen Themen zu geben, war die Grundidee). Da sind auch schon Anklänge an Themen zu unserer Vorlesung drin.

Vorlesungsprotokoll 8 (Dienstag, 01. Juni 15:00 Uhr

John Farey, Sr. (* 1766 in Woburn, Bedfordshire; † 6. Januar 1826 in London) war ein englischer Geologe, kein Mathematiker! Er hat die Mathematik mit einer sehr überraschenden Erkenntnis bereichert:. Das falsche Addieren von Brüchen löst ganz spielerisch ein tiefes Approximationsproblem.

Wir lernen ihre elementaren sehr einfachen und dennoch sehr tiefen Eigenschaften kennen. Sie lehrt uns ein ungemein knifflig wirkendes zentrales Problem der Analysis algorithmisch sehr einfach zu lösen. Es erinnert durchaus an eine Gespensterjagd!

Besprochen: Bis Seite 9 der Notizen 5, nur der Exkurs fehlt noch (Farey-Folgen)
Dann bearbeitet das Plenum eine Klausuraufgabe, die auf jeden Fall in der einen oder anderen Art vorkommt  

Die Lösung der Plenumsaufgabe (Approximation von Wurzel 3) findet man auf den ersten Seiten der Notizen 5. Alle Beweise zum Hauptsatz auf Seite 9 wurden an der Tafel besprochen.

Übungen am Mittwoch: Alle Aufgaben besprochen, das in der Übung begonnene Computerprogramm ist fertig und kann oben und auch hier heruntergeladen werden. Es ist sehr kurz:

Vorlesungsprotokoll 9 (Dienstag, 08. Juni 15:00 Uhr)
Wir beschäftigen uns mit einem Wachstumsmodell für Populationen bei begrenzten Ressourcen.

Der Erfinder Pierre François Verhulst (1804–1849) war ein belgischer Mathematiker, der den logistischen Wachstumsprozess in der Biologie beschrieben hat. Dieses Modell wird auch für die Ausbreitung von Infektionen oder Nachrichten verwendet. Daneben bietet es einen (von Verhulst sicher nicht beabsichtigten) Einstieg in die Chaostheorie.

Eine Erweiterung auf Räuber-Beute-Modelle von Volterra wird ebenfalls thematisiert.  
Wir arbeiten dabei mit einem diskreten Modell (weil wir algorithmisch herangehen), nicht mit dem im Link dargestellten stetigen Modell, das aber auf den selben Modellannahmen fußt.

Wir nähern uns dem Thema wieder sehr anschaulich mit einigen Simulationsprogrammen

Übung am Mittwoch: Musterlösungen sind oben abrufbar

Vorlesungsprotokoll 10 (Dienstag, 15. Juni 15:00 Uhr)
Chaosausbruch im Modell von Verhulst

   
Ein Untersuchungsprogramm findet man auf meiner Seite mit Computerprogrammen

Beispiel für eine Modellierung mit dem Modell von Volterra, gezeigt wird eine Parameteranpassung

Zum vorhergehenden Einlesen pdf
Es ist sehr empfehlenswert, das Modell beim Lesen in Excel zu realisieren! Die Erläuterung endet mit einer Aufgabe.

In den Übungen am Mittwoch wurden alle Aufgaben besprochen.

Vorlesungsprotokoll 11 (Dienstag, 22. Juni 15:00 Uhr)
Über die Schwierigkeiten, vernünftige Größen für die Anzahl der Zähne eines mit Zahnrädern realisierten Planetenmodells zu finden (die das Verhältnis der Umlaufzeiten möglichst genau wiedergeben), schreibt Christian Huygens in seiner berühmten in lateinischer Sprache verfassten Schrift  AUTOMATI  PLANETARII  u.a. (ein paar mit Deepl übersetzte Zeilen):

Die Zahnräder wären zu groß, 77708431 Zähne, wenn ein Zahn 1mm groß ist, würden ja zu einem Zahnrad mit einem Umfang von 77km führen!

Aufgabe zur Vorbereitung der Vorlesung:     Man suche beste Brüche, die 77708431/2640858  möglichst genau approximieren. Wir kennen inzwischen ja eine Methode und können auch die Exceltabelle "Intervallschachtelung.xlsx" verwenden.

In der Vorlesung wird gezeigt, wie Huygens vorgegangen ist (etwas anders mit überraschendem Ergebnis)

Vorlesungsprotokoll 12 (Dienstag, 29. Juni 15:00 Uhr)
Beweis der Iteration zur Berechnung der Teilnäherungen eines Kettenbruchs
                                                                        

Erläuterung der Fordkreise, Beweis zu den Fordkreisen  (findet man zum Nachlesen bei den Lösungen zu 7 oben)
Vorlesungsprotokoll 13 (Dienstag, 7. Juli 15:00 Uhr)
Turingmaschine
Beweis zur Existenz nicht berechenbarer Funktionen  

Dazu:   Leseprobe aus  "Algorithmik für Einsteiger" von Armin Barth pdf

Danach:
Besprechung der Klausurübungsaufgaben. Musterlösungen stehen oben zum Download bereit.



Meine Simulation der Turingmaschine "Turing Duck" findet man hier
Klausur, 14. Juli
Von 15:00 Uhr bis 16:30 Uhr
Impressum

Sollten dem Leser dieser Seiten Fehler in Orthographie, Syntax, Sinn und Verstand auffallen, so bittet der Verfasser um Nachsicht und Nachricht und bittet darum, die Tücken der Technik (auf die schon klügere hingewiesen haben) zur Entschuldigung ins Kalkül zu ziehen:

H. Rehlich, TU Braunschweig
Meine Internetseite mit Computerprogrammen und elementarmathematischen Problemfeldern